O que são números primos? Saiba a sua importância

Você já deve ter ouvido falar de ”números primos” nas suas aulas de matemática, certo? Mas se eu te perguntasse o que, de fato, é um número primo, você saberia me responder?

A matemática gosta de definições e, então, é aqui que temos que começar. Por conceito, um número primo é o que só pode ser dividido por 1 e por ele mesmo. Mas você quer um exemplo?

O número 13 é divisível por 13 e por 1 e ninguém mais! Se você tentar dividi-lo por 2, o resultado não será outro número natural, mas sim com vírgula (ou decimal). É claro que sabemos que você pode dividir 5 por 2 e resultar em 2,5.

Mas, para definir os primos de modo certo, vamos dar exemplos só com números inteiros, ou seja: 0, 1, 2, 3, 4 e assim por diante, sem vírgulas e positivos.

Estudar matemática na escola sempre foi muito difícil, essa matéria, em especial, não era diferente. Divisão entre números com vírgula? Trigonometria? Todas as matérias que me fizeram repensar minha relação com a disciplina.

Leia mais: A importância do professor de matemática na vida escolar o seu filho

Leia mais: A matemática é um bicho de sete cabeças?

A matemática reúne muitos e diversos tópicos, desde geometria até álgebra linear. E em quase todos eles dá para aprender alguma coisa nova e legal. Nesse caso, algo que vá incitar o seu desejo.

O tema deste artigo é um desses assuntos. O estudo desses números é grande e resultou em muitos efeitos para a matemática tanto na teoria quanto na prática.

Dessa forma, neste artigo vamos entender um pouco mais sobre como eles funcionam, seu valor, para que servem na prática e como saber se um número é primo ou não. Não perca!

Por que é importante conhecer os números primos?

Se pegarmos quase que qualquer matéria de matemática que você viu durante o Ensino Fundamental e Médio, dá para dizer que cada uma delas têm, de fato, uma função na vida real.

Ademais, você já deve ter ouvido alguém falando “eu não vou usar matemática na minha vida, então por que tenho que estudar?”. Isso só nos mostra como a grande maioria das pessoas não faz ideia do valor desse estudo.

Geometria

Por exemplo, a geometria tem um papel vital na vida real para a construção de, por exemplo:

• Prédio;
• Mesa;
• Celular;
• Janela;
• Carro;
• Caneca;
• Livro;
• Estante;
• Geladeira;
• Rua;
• Televisão;
• Avião.

Para fazer os pontos acima é vital ter um saber sólido em geometria. Como que um engenheiro vai definir o tamanho das janelas de um prédio sem saber a área de um quadrado, por exemplo? Além disso, como que uma empresa de bebidas faz garrafas de plástico sem saber do volume de um cilindro?

Porcentagens

Os exemplos não têm fim. Porcentagens também têm um papel de muito valor para as pessoas como um todo, pois quando você anda pelas ruas e vê uma loja vendendo roupas com 15% de desconto, como é feito o cálculo?

E aquele cupom de 40% no iFood? Então se você nunca viu nada sobre porcentagens e proporções de forma certa, fica muito difícil fazer essas simples contas, não acha?

Meteorologia

Ao mesmo tempo, quando você vê o jornal na TV, um dos grandes segmentos do programa é o tempo, falando sobre previsões de chuva etc.

Também conhecida como meteorologia, esse estudo é vital para o dia a dia de todos nós. É bom saber se pode ou não chover antes de sair de casa ou se vai chover amanhã na praia que você planeja visitar.

A matemática, sendo assim, tem um papel vital na meteorologia. Para fazer as previsões diárias que sites como o ClimaTempo mostram, é bom usar os saberes de probabilidade e estatística, junto com a Física.

Os cálculos são bem complexos e os resultados nem sempre nos ajudam a prever o futuro, mas mesmo assim são muito úteis.

Números primos e comunicação

Depois de mostrar todos esses exemplos na prática, então podemos falar mais sobre o tema. Existe uma relação muito grande entre números primos e fatoração, que pode ser escrita como uma relação profunda entre fatoração e computadores.

Todos os computadores que você vê hoje (e há muitos anos) funcionam por causa de cálculos constantes, dos quais muitos são feitos por meio da fatoração. Então é aí que esses números entram: eles são usados para representar a fatoração de qualquer número que você conheça.

Por exemplo: podemos representar 20 como sendo 2 x 2 x 5, que são todos primos. Legal, não é mesmo? Isso ajuda, e muito, os cálculos constantes que um computador deve fazer.

Mas quando falamos de computador, isso inclui o seu computador de mesa, seu celular, tablet, laptop e até mesmo o painel digital no carro do pai do seu amigo. Todos eles funcionam da mesma forma: com fatoração.

Leia mais

O que são números primos e compostos? As diferenças entre eles

Números compostos

Agora que você já sabe o que são números primos, então vamos saber quais são os números compostos?

Primeiro, vamos ver, de modo rápido, o que já vimos no texto: o número natural que é divisível por 1 e por ele mesmo. O 13, por exemplo, só é divisível por 1 e por 13, e nada mais.

Mas por outro lado, os números compostos são números naturais que, além de serem divididos por 1 e por eles mesmos, podem ser divididos por outros números naturais, ou seja, têm mais de dois divisores. Você quer um exemplo? Então tome o 12.

• 1) 12 / 2 = 6
• 2) 12 / 3 = 4
• 3) 12 / 4 = 3
• 4) 12 / 6 = 2
• 5) 12 / 12 = 1
• 6) 12 / 1 = 12

Outra forma de defini-los é: números compostos são números que têm mais de dois divisores, ou seja, mais de 2 números pelo qual ele pode ser dividido. No caso do número 12, ele tem 6 fatores (6 números pelo qual dá para dividir).

Quais são os únicos números primos entre 1 e 1000?

Um dos pontos que mais chamam a atenção em todos esses números é que à medida que se elevam os naturais fica cada vez mais difícil de prever onde estará o próximo primo.

Mas não foi descoberto (pelo menos ainda não) uma fórmula eficaz para achá-los. Em outras palavras, não há uma fórmula para saber se um número é primo sem falhas ou erros.

Eles não são como pares, em que basta somar de 2 em 2 a partir do zero que sempre os achará. Além disso, eles também não são como os ímpares (não divisíveis por 2) ou como múltiplos de 3, em que basta somar de 3 em 3 para achá-los.

Uma das coisas que faz deles tão raros é que, se pensarmos em todos eles postos sobre uma linha que representa os naturais até o infinito, a distância entre os primos muda de modo constante. Ela não só cresce ou só decresce, ou seja, ela sempre difere.

Para se ter uma ideia, todos os números primos menores que 100 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97 – vale frisar que o 2 é o único número par e primo. Por essa lógica, será que então teremos 50 entre 1 e 200? Ou então 100 entre 1 e 400? Errado!

Para a surpresa de muitos, há só 168 números primos entre 1 e 1000! Que loucura, não é! Afinal, isso nos mostra como esses números se portam de modo estranho.

O Crivo de Eratóstenes

O que é um algoritmo?

Antes de entender o que é e para que serve o famoso Crivo de Eratóstenes, temos que entender o que é, de fato, um algoritmo.

Você, com certeza, já deve ter ouvido falar na palavra “algoritmo” e a ligou com computadores e programação. E você estaria certo.

Algoritmos têm tudo a ver com computação e programação. Mas antes da invenção desses estudos, algoritmos tinham um outro plano dentro da matemática antiga.

Um algoritmo, dentro da matemática, é um conjunto de regras que devem ser seguidas para que o cálculo desejado seja feito de forma certa.

Eles são muito usados em alguns casos em que há problemas, em que o aluno aplica um algoritmo simples (como a regra de 3) para achar a resposta do problema.

O algoritmo de Eratóstenes

Agora que você já sabe o que é um algoritmo, fica mais fácil saber o que é esse estranho Crivo de Eratóstenes. Da forma mais simples possível, ele era um algoritmo usado para achar todos os números primos até um certo valor limite.

Criado pelo matemático grego Eratóstenes (a.C. 285 – 194 a.C.), esse algoritmo consistia em aplicar tais passos:

• 1) Escolha um número: nesse caso o 30;
• 2) Faça a raiz quadrada desse número, arredondando para baixo. O resultado seria 5;
• 3) Liste todos os números inteiros entre 2 até 30;
• 4) Remova dessa lista todos os números múltiplos de 2, exceto o 2;
• 5) Repita o método com o 3, removendo todos os seus números múltiplos da lista e depois, de novo, com o 5;
• 6) Como o 5 foi o resultado da raiz quadrada feita no começo, então não precisa remover o número múltiplo de nenhum outro número;
• 7) A lista que resulta contém apenas os primos entre 2 e 30.

Critério de divisibilidade

Saber sobre os critérios de divisibilidade ajuda em saber se um número é primo ou não. Mas precisa-se passar por quatro fases para descobri-los:

• 1) Critério de divisibilidade por 2: todo número par – ou seja, que termina em 0, 2, 4, 6 e 8 – é divisível por 2;
• 2) Critério de divisibilidade por 3: sabe-se que um número é dividido por 3 se a soma dos seus algarismos também for 3;
• 3) Critério de divisibilidade por 5: todo número que termine em 0 e 5 é divisível por 5;
• 4) Critério de divisibilidade: de forma análoga, exclui-se todos os números que são múltiplos de 7.

Fatoração

Falamos de modo rápido em fatoração neste artigo, mas não falamos em como ele se conecta com todos os números que estamos vendo aqui. Mas o que, de fato, é a fatoração?

Decomposição em fatores primos, na álgebra, consiste em reescrever um único número primo como a multiplicação de outros números menores, chamados de fatores primos.

Da mesma forma que a parcela é cada uma das partes que compõem uma adição, os fatores primos são as partes que compõem um produto (multiplicação).

No Ensino Médio, a decomposição em fatores primos é muito usada para decompor polinômios e para simplificar cálculos que envolvam produtos, raízes e exponenciação.

Portanto, como dito mais cedo no artigo, números primos são um meio muito útil para a fatoração de números maiores, dos quais seria muito difícil de fazer usando só uma calculadora ou o cérebro humano.

Números primos e criptografia

Vamos ser honestos agora: você, de fato, iria conseguir ter previsto que números primos poderiam ser usados em criptografia? Essa relação entre eles não é óbvia, mas existe, sim.

Criptografia é usada nos dias de hoje para proteger seus dados pessoais na internet, como, por exemplo, seu login, senha e similares nas redes sociais. Sem ela todos nós estaríamos à mercê de hackers e programas feitos para roubar esse tipo de info.

O motivo pelo qual esses números são de valor, nesse caso, é que se você pegar, por exemplo, o 187, sua fatoração nos dá só um resultado: 11 x 17. Ambos são primos. Que surpresa! Portanto, esse tipo de info constrói um algoritmo de criptografia mais seguro e mais difícil de quebrar.

Curiosidades sobre números primos:

• Infinitude;
• Grécia Antiga;
• O maior primo achado até agora;
• Raridade.

Infinitude

Sim, você leu isso direito: números primos são infinitos! Pois se você percorrer os naturais em direção ao infinito, você sempre – vai achar os primos pelo caminho, não importa quão alto você for.

Grécia Antiga

Eles foram vistos primeiro pelos matemáticos gregos na Grécia Antiga. Até porque muito da matemática que temos hoje – origina-se da Grécia Antiga, sendo a geometria o principal exemplo.

O maior primo encontrado até agora

O maior número primo visto até hoje, usando um supercomputador, tem mais de 24 milhões de dígitos. Sim, você leu certo: 24 milhões de dígitos.

Raridade

Eles se tornam cada vez mais raros à medida que os números vão ficando maiores e maiores. Estranho, não é mesmo? Mais um fato legal sobre a grande e profunda matemática.

Gostou do nosso conteúdo? Mas tem alguma dúvida ou gostaria de comentar algo sobre este tema? Então deixa um comentário ou entre em contato com a LUMA Ensino.